Столкнулся тут с тем, что фриланс-биржа, через которую мне хотят платить деньги, не выводит деньги на армянские счета, только на карту. Можно ли открыть счет ИП, выпустить к нему карту и получать деньги на неё? У налоговой не будет лишних вопросов?

Можно

Налоговой нужны прежде всего инвойсы, которые подготовит и отправит ваш бухгалтер

Если платить с этого так же налоги, то нет. Деньги в любом случае попадут на счет, просто карточный.